Peluang dan Frekuensi Harapan

Peluang dan Frekuensi Harapan

A.  Percobaan, ruang sampel, dan titik sampel

Percobaan

Percobaan adalah suatu tindakan atau kegiatan yang dapat memberikan beberapa kemungkinan. Percobaan disebut juga eksperimen. Contoh percobaan adalah melempar dadu, melempar koin, mengambil kartu secara acak dari tumpukan kartu, dan lain-lain. Dengan melakukan percobaan, kita bisa mendapatkan hasil atau disebut juga sebagai titik sampel.

Ruang Sampel

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian. Ruang sampel dinotasikan dengan S. Contohnya pada pelemparan dadu, maka ruang sampelnya adalah S = {1,2,3,4,5,6}. Sementara itu, jika kita melakukan percobaan melempar sebuah uang koin, maka ruang sampelnya adalah S = {A,G}. A berarti angka dan G berarti gambar.

 

Titik Sampel

     Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau hasil yang mungkin muncul dari suatu percobaan. Misalnya, kita melakukan percobaan melempar sebuah dadu, maka titik sampelnya adalah (1), (2), (3), (4), (5), dan (6). Sementara itu, jika kita melakukan percobaan melempar sebuah uang koin, maka titik sampelnya adalah (A) dan (G).

 

Cara Menyusun Anggota Ruang Sampel

Ada tiga cara untuk menyusun anggota ruang sampel, yaitu dengan cara mendaftar, menggunakan diagram pohon, dan menggunakan tabel.

1.      Menyusun Anggota Ruang Sampel dengan Mendaftar

Cara pertama adalah menyusun anggota ruang sampel dengan mendaftar alias menuliskan seluruh anggota ruang sampel secara berurutan. Cara ini bisa dipilih ketika anggota ruang sampelnya tidak terlalu banyak.

Contohnya, saat kita melemparkan dua buah koin sekaligus, maka titik sampel atau semua hasil yang mungkin terjadi dari percobaan tersebut adalah (A, A), (A, G), (G, A), dan (G, G).

Maka, diperoleh ruang sampel:

S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)}

Banyak anggota ruang sampel → n(S) = 4

 

2.      Menyusun Anggota Ruang Sampel dengan Diagram Pohon

Cara kedua adalah menyusun anggota ruang sampel dengan diagram pohon. Cara ini bisa dipilih ketika anggota ruang sampelnya cukup banyak dan akan memakan waktu jika menggunakan cara mendaftar.

Contohnya, saat kita melemparkan dua uang koin secara bersamaan, maka ruang sampelnya dapat ditentukan menggunakan diagram pohon berikut:

Sehingga ruang sampelnya dapat dituliskan

S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)}

Banyak anggota ruang sampel → n(S) = 4

 

3.      Menyusun Anggota Ruang Sampel dengan Tabel

Cara ketiga adalah menyusun anggota ruang sampel dengan tabel. Cara ini bisa dipilih ketika anggota ruang sampelnya sangat banyak dan akan memakan waktu jika menggunakan cara mendaftar maupun diagram pohon.

Contohnya, saat kita melemparkan dua buah dadu sekaligus, maka pada masing-masing dadu akan ada 6 kemungkinan kejadian yang muncul, yaitu mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Jika kita susun dalam sebuah tabel, maka didapatkan hasil sebagai berikut:

Dadu 1	Dadu 2
	1	2	3	4	5	6
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

Sehingga ruang sampelnya adalah

S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4) (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

Sehingga n(S) = 36

B.  Peluang

Peluang adalah kemungkinan yang mungkin terjadi (muncul) dari suatu peristiwa. Dalam angka, peluang selalu berkisar antara 0 dan 1, dengan 0 menyatakan suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi dan 1 menyatakan suatu kejadian yang pasti terjadi. Hal ini dinotasikan sebagai

       Dengan  P(A) menyatakan peluang terjadinya kejadian A.

 

Rumus Peluang Suatu Kejadian

     Peluang atau kemungkinan, secara teoritis artinya perbandingan antara banyaknya suatu kejadian dengan banyaknya seluruh kemungkinan yang terjadi. Besar peluang suatu kejadian A dirumsukan sebagai berikut:

Keterangan:

P      : peluang kejadian A

n(A) : banyak anggota kejadian A

n(S)  : banyak anggota ruang sampel

 

Contoh

Dua bua dadu dilempar secara bersamaan. Tentukan peluang munculnya jumlah kedua mata dadu sama dengan:

a.       5

b.      3 atau 10

 

Penyelesaian

Ruang sampel atau S = {(1,1) ,(1,2), (1,3), ..... , (6,5), (6,6)}

Banyak anggota ruang sampel atau n(S) = 36

a.      Misalkan A adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu sama dengan 5

A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}

Banyak anggota A atau n(A) = 4

Peluang kejadian A adalah

b.     Misalkan B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu sama dengan 3 atau 10

B = {(1,2), (2,1), (4,6), (5,5), (6,4)}

Banyak anggota B atau n(B) = 5

Peluang kejadian B adalah

 

C.   Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan atau disimbolkan Fh(A), bisa juga disebut sebagai ekspektasi suatu kejadian. Frekuensi harapan adalah harapan banyaknya kejadian yang dapat terjadi dari banyak percobaan yang dilakukan. Suatu percobaan dilakukan berulang kali, maka frekuensi harapan muncul suatu kejadiannya akan semakin besar. Jadi, frekuensi harapan pada suatu percobaan adalah hasil kali banyaknya percobaan dengan peluang kejadian secara teoritis. Rumus frekuensi harapan bisa ditulis sebagai berikut:

 

Keterangan

Fh(A)    : Frekuensi harapan kejadian A

P(A)     : Peluang kejadian A

n           : Banyaknya percobaan

 

Contoh

Sebuah dadu dilempar sebanyak 300 kali. Selama pelemparan tersebut, berapa kali diharapkan muncul mata dadu 6?

 

Penyelesaian

Ruang sampel atau S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Banyak anggota ruang sampel atau n(S) = 6

Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 6, artinya A = {6}

Banyak anggota A atau n(A) = 1

Dengan demikian, peluang kejadian A adalah

Frekuensi harapan dari kejadian A adalah